【導(dǎo)讀】如果采用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（mesh-node）分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù)，那么立即獲得一個(gè)有意義的符號(hào)公式通常是不可能的，需要額外的工作才能得出。應(yīng)用經(jīng)典的分析技術(shù)來(lái)獲得所謂的低熵表達(dá)式–即分?jǐn)?shù)形式，從中您可識(shí)別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)–往往導(dǎo)致如Middlebrook博士曾在他的文獻(xiàn)[1]、[2]中提到的代數(shù)失效（algebraic paralysis）。
在此，快速分析電路技術(shù)（FACTs）可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴(kuò)展，以大大簡(jiǎn)化分析。通過(guò)使用FACTs，不僅加快您的執(zhí)行速度，而且最終結(jié)果將以有序的多項(xiàng)式形式出現(xiàn)，通常無(wú)需進(jìn)一步的因子分解工作[3]、[4]。
本文首先介紹后文用于確定開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個(gè)主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵(lì)您進(jìn)一步挖掘這個(gè)主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級(jí)電感轉(zhuǎn)換器（SEPIC）工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）。PWM開(kāi)關(guān)[5]將用于形成小信號(hào)模型。
01 快速分析技術(shù)(FACTs)簡(jiǎn)介
FACTs背后的基本原理在于電路時(shí)間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時(shí)在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當(dāng)激勵(lì)信號(hào)降至0時(shí)和響應(yīng)清零時(shí)。通過(guò)使用這種技術(shù)，您將體會(huì)到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀。基于這種方法的分析技術(shù)始于幾十年前，如[6]和[7]中記載的。
傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，它把激勵(lì)信號(hào)、激勵(lì)物，和由這種激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)聯(lián)系起來(lái)。如果我們考慮一個(gè)線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)無(wú)延時(shí)，具有靜態(tài)增益H0–例如開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級(jí)-其連接控制信號(hào)Verr（激勵(lì)）和輸出Vout（響應(yīng)）的傳遞函數(shù)H可表示為：
（1）首項(xiàng)H0是系統(tǒng)在s=0評(píng)估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項(xiàng)將帶傳遞函數(shù)的單位（或維度），如果有的話。如果響應(yīng)和激勵(lì)都用伏特表示，在此我們表示為Verr和Vout，H是沒(méi)有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。數(shù)學(xué)意義上，零點(diǎn)是函數(shù)幅值為零的根。通過(guò)FACTs，我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開(kāi)這些零點(diǎn)。我們不會(huì)像通常在諧波分析（s=jw）中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負(fù)數(shù)根的整個(gè)平面。
因此，如果電路存在零點(diǎn)，將表現(xiàn)為當(dāng)輸入信號(hào)調(diào)到零角頻率sz時(shí)無(wú)信號(hào)的輸出響應(yīng)。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號(hào)傳播，響應(yīng)為零，盡管存在激勵(lì)源：當(dāng)變形的電路在s=sz點(diǎn)被激勵(lì)時(shí)，在信號(hào)路徑的串聯(lián)阻抗趨于無(wú)窮或分支將該激勵(lì)分流到地面。
請(qǐng)注意，這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過(guò)觀察提供了巨大的幫助來(lái)找到零點(diǎn)，通常無(wú)需寫(xiě)一行無(wú)源電路的代數(shù)。圖1提供了簡(jiǎn)單的流程圖，詳細(xì)介紹了過(guò)程。關(guān)于這種方法的更多細(xì)節(jié)見(jiàn)[8]。
圖1：這個(gè)簡(jiǎn)單的流程圖將指導(dǎo)您用最簡(jiǎn)單的方法確定零點(diǎn)。在觀察無(wú)用時(shí)，您將需要進(jìn)行雙重抵消注入或NDI。
翻譯參考▽
● Bring the excitation signal – the stimulus – back in place：將該激勵(lì)信號(hào) – 激勵(lì)-帶回原處
● Null the output：將輸出清零
● Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a ● transformed open circuit or a transformed short circuit.：在變形的電路中找到一個(gè)或一些可阻擋激勵(lì)傳播的阻抗組合：一個(gè)變形的開(kāi)路電路或變形的短路電路
● Signal：信號(hào)
● To response : 到響應(yīng)
● If inspection is not possible, go for a Null Double Injection（NDI）：若觀察無(wú)用，則進(jìn)行雙重抵消注入(NDI)
分母D(s)由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過(guò)設(shè)置激勵(lì)信號(hào)為0和確定從電路中臨時(shí)移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來(lái)得出這些時(shí)間常數(shù)。
通過(guò)“觀察”，您可想象把一個(gè)歐姆表置于暫時(shí)移除的儲(chǔ)能元件（C或L），并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的運(yùn)用，正如圖2中的第二個(gè)流程圖所詳述的。
圖2：該流程圖解釋了用于確定電路時(shí)間常數(shù)的方法。
翻譯參考▽
● Count energy-storing elements with independent state variables：計(jì)算具有獨(dú)立狀態(tài)變量的儲(chǔ)能元件
● Assume there are two energy-storing element, L1 and C2：假設(shè)有兩個(gè)儲(chǔ)能元件，L1和C2
● The denominator follow the form：分母遵循此公式
● Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists：電容開(kāi)路，電感短路，確定直流增益H0，若H0存在
● Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2：減小激勵(lì)至零，并確定b1和b2的時(shí)間常數(shù)
● Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited：確定驅(qū)動(dòng)L1而C2 開(kāi)路時(shí)的阻抗Ri
● Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited：確定驅(qū)動(dòng)C2 而L1短路時(shí)的阻抗Rj
● Sum the time constants：將時(shí)間常數(shù)相加
● Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited：確定驅(qū)動(dòng)L1而C2 短路時(shí)的阻抗Rk
● Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited：確定驅(qū)動(dòng)C2 而L1開(kāi)路時(shí)的阻抗Rl
● Choose the simplest combination：選擇最簡(jiǎn)單的組合
看到圖3，是一個(gè)涉及注入源的一階無(wú)源電路—該激勵(lì)源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號(hào)Vin通過(guò)網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。
圖3：確定電路的時(shí)間常數(shù)需要將激勵(lì)源設(shè)為0，并看看從電路中暫時(shí)移除的能量存儲(chǔ)元件所提供的電阻。
翻譯參考▽
● The response：響應(yīng)
為確定本例電路的時(shí)間常數(shù)，我們將激勵(lì)源設(shè)為0（由短路代替0V電壓源，開(kāi)路代替0A電流源），拆下電容器。然后，我們連接一個(gè)歐姆表來(lái)確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。
圖4：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。
翻譯參考▽
● The excitation is set to 0：激勵(lì)源設(shè)為零
● For example：例如
如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過(guò)R和C1即可計(jì)算得出：
（2）我們可證明第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此：
（3）現(xiàn)在，s=0時(shí)該電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開(kāi)路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開(kāi)連接，會(huì)看到一個(gè)含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：
（4）輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開(kāi)的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：
（5）
圖5：您斷開(kāi)直流電路中的電容器，計(jì)算這簡(jiǎn)單的電阻配置的傳遞函數(shù)。
基本就是這些了，我們正錯(cuò)過(guò)零點(diǎn)。我們?cè)谇拔奶岬剑泓c(diǎn)通過(guò)阻斷激勵(lì)信號(hào)的傳播而在電路中表現(xiàn)出來(lái)，產(chǎn)生一個(gè)無(wú)信號(hào)的輸出響應(yīng)（見(jiàn)圖1）。
若我們考慮一個(gè)變形的電路–其中C1由代替–如圖6，當(dāng)激勵(lì)源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無(wú)信號(hào)響應(yīng)？無(wú)信號(hào)響應(yīng)只意味流過(guò)R3的電流為0。這不是短路，而是相當(dāng)于虛擬的接地。
圖6：在這變形的電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為變形的短路，響應(yīng)消失，R3中無(wú)電流流過(guò)。
如果在R3中沒(méi)有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：
（6）根sz是我們想要的零點(diǎn)位置：
（7）從而有：
（8）現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：
（9）這就是所謂的低熵表達(dá)式，從中您可立即識(shí)別靜態(tài)增益G0、極點(diǎn)wp和零點(diǎn)wz。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過(guò)施加大規(guī)模外力到原來(lái)的電路來(lái)獲得，如：
（10）您不只在推導(dǎo)表達(dá)式時(shí)可能會(huì)出錯(cuò)—而且將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。另外，請(qǐng)注意，在這特定的例子中，在寫(xiě)（9）時(shí)我們沒(méi)有寫(xiě)一行代數(shù)。如果我們后來(lái)發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，那么很容易回到一個(gè)單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修復(fù)它。（9）的校正很簡(jiǎn)單。現(xiàn)嘗試對(duì)（10）進(jìn)行相同的修正，您可能會(huì)從頭開(kāi)始。
02 FACTs應(yīng)用于二階系統(tǒng)
FACTs同樣適用于n階無(wú)源或有源電路。通過(guò)計(jì)算狀態(tài)變量是獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的數(shù)量來(lái)確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個(gè)具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示如下：
（11）當(dāng)H0帶傳遞函數(shù)的單位，那么N:D的比值是沒(méi)有單位的。這意味著a1和b1的單位是時(shí)間[s]。當(dāng)a1無(wú)信號(hào)響應(yīng)，b1的激勵(lì)源為零，您將確定的時(shí)間常數(shù)相加。
對(duì)于二階系數(shù)，a2或b2，維度是時(shí)間的平方[s²]，你將時(shí)間常數(shù)結(jié)合為一個(gè)產(chǎn)物。然而，在這時(shí)間常數(shù)產(chǎn)物中，您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個(gè)時(shí)間常數(shù)，而二階時(shí)間常數(shù)的確定需要一個(gè)不同的符號(hào)：
（12）在這個(gè)定義中，您設(shè)置標(biāo)號(hào)出現(xiàn)在“冪” 中的儲(chǔ)能元件處于高頻狀態(tài)（電容被短路，電感被開(kāi)路），當(dāng)我們暫時(shí)從電路中移除二階元件端（參見(jiàn)下標(biāo)），您可從中確定電阻。當(dāng)a2必須為無(wú)信號(hào)的輸出和b2的激勵(lì)源減為0時(shí)，您可運(yùn)用此法。
當(dāng)然，當(dāng)觀察有用時(shí)，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點(diǎn)難以理解，但沒(méi)有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會(huì)明白。
圖7：工作于CCM的降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗的確定是一個(gè)很好的例子，演示了FACTs如何簡(jiǎn)化分析。
翻譯參考▽
● Voltage-mode：電壓模式
● Small-signal mode：小信號(hào)模式
圖7是一個(gè)經(jīng)典的二階濾波器，用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個(gè)激勵(lì)信號(hào)Iout與響應(yīng)信號(hào)Vout的一個(gè)傳遞函數(shù)。
此處，Iout是我們已安裝的測(cè)試生成器，而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從（11）中確定各種系數(shù)，我們可按照?qǐng)D2的流程圖，從s = 0開(kāi)始：如圖所示，電感短路，電容開(kāi)路。該電路是簡(jiǎn)單的，電流源的電阻R0不過(guò)是rL和Rload簡(jiǎn)單的并列組合：
（13）這個(gè)電路中有零點(diǎn)嗎？我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當(dāng)激勵(lì)源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時(shí)，什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。
圖8：如果阻抗Z1或Z2轉(zhuǎn)換為短路，響應(yīng)Vout為無(wú)信號(hào)輸出。
立即確定這兩個(gè)阻抗的根：
（14）
（15）因此分母N(s)表示為
（16）分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(tài)（開(kāi)路）：有t1。然后看驅(qū)動(dòng)C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)（短路）時(shí)的阻抗：得出t2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：
（17）
圖9：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于直流狀態(tài)時(shí)，您會(huì)得出阻抗為多少？
二階系數(shù)b2是用（12）中引入的符號(hào)來(lái)確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)（開(kāi)路），驅(qū)動(dòng)C2以得到的阻抗，C2處于高頻狀態(tài)（短路），則驅(qū)動(dòng)L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。
您通常選擇最簡(jiǎn)單的表達(dá)式，或避免不確定性的一個(gè)，如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對(duì)于b2的兩個(gè)定義是相同的，您看上面的是最簡(jiǎn)單的：
（18）現(xiàn)在我們有所有的成分來(lái)組合最終的傳遞函數(shù)，定義為：
（19）我們已經(jīng)確定了這個(gè)傳遞函數(shù)，而沒(méi)有寫(xiě)一行代數(shù)，只是拆分該電路為幾個(gè)簡(jiǎn)單的草圖個(gè)別解決。
此外，正如預(yù)期的那樣，（19）已經(jīng)是一個(gè)規(guī)范的表達(dá)式，您可輕易的看到一個(gè)靜態(tài)增益、兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)可用一個(gè)諧振分量w0和一個(gè)品質(zhì)因數(shù)Q進(jìn)一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合，我們不可能得到這一結(jié)果。
圖10：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于高頻狀態(tài)時(shí)，您會(huì)得出阻抗為多少？
采用FACTs，通過(guò)觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù)，特別是對(duì)于無(wú)源電路。由于電路復(fù)雜，包括電壓或電流控制源，觀察起來(lái)沒(méi)那么明顯，您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)分析。但FACTs提供了幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：由于您將電路拆分為用于確定最終的多項(xiàng)式表達(dá)式系數(shù)的小的單個(gè)草圖，因此如果在最終的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，您總是可以回到一個(gè)特定的繪圖并個(gè)別修正。
此外，當(dāng)您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項(xiàng)時(shí)，您自然會(huì)得到一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)式，而不用投入進(jìn)一步的精力來(lái)收集和重新排列這些項(xiàng)。最后，如[4]所示，在復(fù)雜的無(wú)源和有源電路中，SPICE對(duì)驗(yàn)證個(gè)別極點(diǎn)和零點(diǎn)的計(jì)算有很大幫助。
未完待續(xù)，下周六見(jiàn)...
References
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作者簡(jiǎn)介
Christophe Basso
安森美半導(dǎo)體法國(guó)圖盧茲 Technical Fellow
他擁有超過(guò)20年的電子電路設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項(xiàng)專利，他原創(chuàng)了許多集成電路芯片，其中代表性為NCP120X系列，它重新定義了電源低待機(jī)功耗設(shè)標(biāo)準(zhǔn)。
Christophe Basso出版了多部著作，《開(kāi)關(guān)模式 SPICE 仿真和實(shí)用設(shè)計(jì)》深受廣大工程師的歡迎并二次改版，《為線性和開(kāi)關(guān)電源設(shè)計(jì)控制回路：教程指南》為工程師設(shè)計(jì)補(bǔ)償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實(shí)用指南，《線性電路傳遞函數(shù)：介紹快速分析技術(shù)》以說(shuō)教的方式，為學(xué)生和需要強(qiáng)大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對(duì)電路分析的不同角度。
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